Propiedades de las potencias (con problemas)
Enunciamos las propiedades de las potencias y mostramos ejemplos de cómo aplicarlas. Después, resolvemos 5 problemas aplicando las propiedades vistas.
Más ejemplos en potencias y ejercicios interactivos de potencias.
Recordatorio
En la potencia \(a^b\),
- \(a\) es la base y
- \(b\) es el exponente;
- se calcula multiplicando \(b\) veces la base, \(a\).
Por ejemplo,
Si el exponente es 1, no es necesario escribirlo.
¡Observad que, en la mayoría de las propiedades, las bases de las potencias tienen que ser iguales!
Multiplicación
El producto de potencias con la misma base se calcula sumando sus exponentes:
Por ejemplo,
División
La división de potencias con la misma base se calcula restando sus exponentes:
Por ejemplo,
Potenciación
La potencia de una potencia se calcula multiplicando sus exponentes:
Por ejemplo,
Potenciación de un producto o cociente
La potencia de un producto/cociente de potencias se calcula multiplicando los exponentes de las potencias:
Cuadrado de una suma/resta
Para calcular el cuadrado de una suma/resta aplicamos las siguientes fórmulas:
Por ejemplo,
Para cada \(n\) natural, existen fórmulas para calcular \((a\pm b)^n\), pero no las enunciamos por su extensión.
Inverso
Cuando el exponente es negativo, podemos eliminar el signo negativo escribiendo el inverso de la base:
Por ejemplo,
Bases negativas
Si la base es negativa,
- el resultado es positivo si el exponente es par y
- es negativo si el exponente es impar.
Por ejemplo,
Problema 1
Calcular las siguientes potencias:
Solución:
Multiplicamos la base por sí misma tantas veces como indica el exponente.
Dos a la cuarta:
Tres al cubo:
Cinco al cuadrado:
Cuadrado de menos dos:
Cubo de menos tres:
Problema 2
Calcular las siguientes multiplicaciones potencias:
Solución:
Sumamos los exponentes de las potencias con igual base:
En el siguiente, tenemos tres potencias con base común:
En el siguiente, sólo podemos sumar los exponentes de las potencias de 3:
En el siguiente, hay que sumar los exponentes con el signo negativo incluido:
Problema 3
Calcular las siguientes potencias de potencias:
Solución:
Sólo tenemos que multiplicar los exponentes:
En la siguiente, tenemos el cuadrado de un producto de potencias:
En la siguiente, tenemos que multiplicar con los signos negativos de los exponentes:
En la siguiente, aunque hay 3 exponentes, la propiedad es la misma:
Problema 4
Calcular las siguientes divisiones de potencias:
Solución:
En un cociente, se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador):
En la siguiente, las bases de las potencias no son las mismas, así que no podemos restar los exponentes, pero podemos escribir el 6 como el producto 2·3. Esto nos permite aplicar las propiedades porque tendremos bases comunes.
En la siguiente, escribimos 30 como 2·3·5 y 10 como 2·5:
Observad que los factores \(2^2\) y \(5^2\) se cancelan porque aparecen en el numerador y en el denominador.
En la siguiente, escribimos 36, 45 y 9 como potencias:
Problema 5
Simplificar/reducir las siguientes expresiones:
Solución:
Escribimos 40, 10 y 12 como potencias:
Escribimos 18 como una potencia; el exponente de la fracción pasa al numerador y al denominador:
Podemos escribir las divisiones como fracciones; el exponente negativo es el inverso de la fracción:
