Problemas resueltos del teorema de Pitágoras
En esta página explicamos el teorema de Pitágoras y resolvemos algunos problemas de aplicación.
El teorema de Pitágoras nos permite calcular la medida de uno de los lados de un triángulo rectángulo a partir de los otros dos.
Conceptos necesarios:
- Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos interiores es recto, es decir, mide 90 grados (ó π/2 radianes).
- La hipotenusa es el lado del triángulo frente al ángulo recto.
- Los catetos son los otros dos lados.
- La hipotenusa siempre mide más que los catetos.
Teorema de Pitágoras
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide \(h\) y sus catetos miden \(a\) y \(b\), entonces:
Es decir,
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Despejando y tomando raíces, tenemos:
Más ejemplos teorema de Pitágoras.
Problema 1
¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus dos catetos miden 1cm?
Solución:
Datos:
- La hipotenusa es \(h\).
- Los catetos son \(a=1\) y \(b=1\).
La fórmula del teorema es
Sustituimos los datos:
Como tenemos la hipotenusa al cuadrado, hacemos la raíz cuadrada:
Por tanto, la hipotenusa mide \(\sqrt{2}cm\) (aproximadamente, \(1.41cm\)).
Problema 2
La hipotenusa de un triángulo mide 5m y uno de sus catetos mide 4m. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Solución:
Datos:
- La hipotenusa es \(h=5\).
- Un cateto es \(a = 4\).
- El otro cateto es \(b\).
La fórmula del teorema es
Sustituimos los datos:
Despejamos \(b^2\):
Como tenemos el cateto al cuadrado, hacemos la raíz cuadrada:
Por tanto, el otro cateto mide 3 metros.
Problema 3
A una distancia de 2 metros de la base de una torre, vemos su bandera a una distancia de 5.39 metros en línea recta. ¿Cuál es la altura de la torre si la de la bandera es 1 metro?
Solución:
Datos:
- La hipotenusa es \(h = 5.39\).
- Uno de los catetos es \(a = 2\).
- El otro cateto (altura de la torre y de la bandera) es \(b\).
La fórmula del teorema es
Sustituimos los datos:
Despejamos \(b^2\):
Calculamos \(b\):
Por tanto, la altura de la torre y la bandera es de 5m. Como la altura de la bandera es 1m, la altura de la torre es 4 metros.
Problema 4
La hipotenusa de un triángulo mide 5mm. ¿Cuánto miden sus catetos si uno de ellos mide el doble que el otro?
Solución:
Datos:
- La hipotenusa es \(h = 5\).
- Uno de los catetos es \(a = x\) (escribimos \(x\) porque no sabemos su longitud).
- El otro cateto mide el doble, es decir, \(b = 2·x\).
La fórmula del teorema es
Sustituimos los datos:
Recordad que el cuadrado del producto es el cuadrado de los factores:
Podemos sumar los términos del lado derecho:
El 5 pasa dividiendo al otro lado:
Hacemos la raíz cuadrada:
Por tanto, uno de los catetos mide \(\sqrt{5}mm\) (aproximadamente, \(2.24mm\)) y el otro cateto mide \(2·\sqrt{5}mm\) (aproximadamente, \(4.48mm\)).
Problema 5
Calcular el área de un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa mide 4m y uno de sus catetos mide 2m.
Solución:
Datos:
- La hipotenusa es \(h = 4\).
- Un cateto es \(a = 2\).
- El área de un triángulo es "base por altura entre 2".
La base del triángulo mide 2m. Podemos calcular la altura a partir de su hipotenusa porque es el otro cateto.
La fórmula del teorema es
Sustituimos los datos:
La altura del triángulo es \(\sqrt{12}m\) (aproximadamente, \(3.46m\)).
Calculamos el área:
El área del triángulo es \(\sqrt{12}m^2\) (aproximadamente, \(3.46m^2\)).