Calcular porcentajes de porcentajes
Explicamos cómo calcular un porcentaje de un porcentaje de una cantidad (sólo tenemos que multiplicar dicha cantidad por varias fracciones) y resolvemos 10 problemas de aplicación.
Recordad que el \(n\%\) de \(a\) se calcula mediante una regla de tres (más información en calcular porcentajes), identificando \(a\) con el \(100\%\):
Observad que el \(n\%\) de \(a\) se calcula multiplicando \(a\) por la fracción \(n/100\).
Por ejemplo, el 25% de 260 es 65:
Razonando del mismo modo, el \(m\%\) del \(n\%\) de \(a\) es
Por ejemplo, el 50% del 50% de 260 es 65
Observad que el 50% del 50% es el 25% puesto que
Es decir, la mitad de la mitad de una cantidad es lo mismo que su cuarta parte.
Problema 1
El precio de un jersey cuyo precio es 120€ se rebaja un 50%. Sin embargo, como sigue sin venderse, se aplica otra rebaja del 30%. ¿Cuál es el precio actual del jersey?
Solución:
Primero, se rebaja un 50%, así que su precio es el 50% de 120.
Después, se rebaja un 30%, así que su precio es el 70% del precio anterior.
Tenemos que multiplicar por las fracciones 50/100 y 70/100:
El precio del jersey después de ambas rebajas es 42€.
Problema 2
¿Qué porcentaje de rebaja se ha aplicado al jersey del problema anterior respecto al precio inicial?
Solución:
El precio inicial era 120€ y el precio final es 42€:
El precio final del jersey es el 35% del precio inicial, esto significa que se ha rebajado, en total, un 65%.
Problema 3
Si el 50% del 50% de un número es 12, ¿de qué número se trata?
Solución:
Como el resultado de multiplicar el número \(x\) dos veces por 50/100 es 12, tenemos la ecuación
Resolvemos:
Se trata del número 48.
Problema 4
¿Qué porcentaje es el 60% del 70%? ¿Es el mismo porcentaje que el 70% del 60%?
Solución:
El 50% de \(a\) es
El 70% de esta cantidad, \(x\), es
Es decir,
Simplificamos dos ceros de la fracción:
Por tanto, el 60% del 70% es el 35%.
El porcentaje no cambia si cambiamos el orden de los porcentajes porque se calcula multiplicando las mismas fracciones en otro orden (el orden de los factores no cambia el resultado del producto).
Problema 5
Alfredo invirtió 5000€ en un plan de ahorro. En este plan, el último día de cada mes se le ingresó un 1% del dinero que había en dicho momento en el plan. ¿Cuánto dinero ganó Alfredo después de medio año? ¿Ganó un 1% de lo que invirtió?
Solución:
Inicialmente, en el plan había 5000€.
Al final del primer mes había un 1% más, es decir, había el 101% de 5000€.
Al final del segundo mes había un 1% más, es decir, había un 101% del dinero que había el mes anterior.
Y, así, sucesivamente.
Calculamos el dinero que había después de 6 meses:
Por tanto, después de medio año, Alfredo tenía 5307.6€.
En este tiempo, ganó 307.6€.
Calculamos el porcentaje de ganancias con respecto al dinero que invirtió Alfredo:
Alfredo ganó un 6.152% del dinero que invirtió.
Problema 6
Martín desea invertir 1000€ en un plan de ahorros durante un año. Tiene dos planes para elegir:
-
Plan A: se ingresa un 1% al final del año.
-
Plan B: se ingresa un 0.1% del saldo que hay en la cuenta al final de cada mes.
¿Cuál de los plantes es más beneficioso? ¿Cuánto dinero ganaría Martín en cada plan?
Solución:
Si invierte en el plan A, al cabo de un año tendrá 101% de lo invertido. Si invierte 1000, tendrá
Por tanto, Martín ganaría 10€.
En el plan B, a final de cada mes tiene un 100.1% del dinero que tiene en el mes anterior. Si invierte 1000, tendrá
En este plan, Martín ganaría 12.1€.
Es más beneficioso el plan B porque, aunque el porcentaje 1% es mayor que 0.1%, pero el primero se aplica una vez y el segundo se aplica 12 veces.
Problema 7
Calcular el tanto por ciento n% sabiendo que el n% del 90% de 1200 es 108.
Solución:
Para calcular el n% del 90% de 1200 multiplicamos 1200 por n/100 y por 90/100:
Resolvemos la ecuación:
Cancelamos ceros:
Despejamos la incógnita:
Por tanto, el porcentaje n% es 10%.
Problema 8
Calcular el 10% del 20% del 30% del 90% de 10000.
Solución:
Sólo tenemos que calcular una multiplicación:
Hemos escrito las fracciones como números decimales por comodidad.
Problema 9
El precio de un reloj se rebaja un 20%. Después, un 10%. Después, un 5%. ¿Cuál es su precio si inicialmente costaba 750€? ¿Qué porcentaje respecto del precio inicial cuesta ahora el reloj?
Solución:
El rebajar un 20%, su precio es el 80%; al rebajar un 10%, su precio es el 90%; y, al rebajar un 5%, su precio es el 95%.
Calculamos el precio final:
Calculamos el porcentaje que pagamos respecto al precio inicial:
El precio final es el 68.4% del precio inicial. Se ha rebajado un 31.6% en total.
Problema 10
Juan tiene un 10% más del dinero que tenía hace un mes, pero tiene pensado gastar en un nuevo celular el 30% de todo el dinero que tiene. Si el precio del celular es de 198€, ¿cuánto dinero tenía Juan hace un mes?
Solución:
Hace un mes, Juan tiene el 100% de su dinero, \(x\).
Ahora tiene un 10% más, es decir, tiene 110% del dinero que tenía hace un mes.
Como 198€ es el 30% del dinero que tiene ahora, tenemos la ecuación
Resolvemos:
Hace un mes, Juan tenía 600€. Ahora tiene 660€ y, después de comprar el celular, tendrá 462€.